Question

如圖，在⊙O中，CD是直徑，AB是弦，且CD⊥AB，已知CD=16，AB=8，求證：（1）BD²=DM•CD；
（2）求∠D的度數；
（3）用扇形AOD圍成一個圓錐，求此圓錐底面半徑r的長．

Answer 1

分析：（1）可以證明△BDC∽△MDB，根據相似三角形的對應邊的比相等即可證明；
（2）解Rt△OMB，即可求得∠AOM的度數，再根據圓周角定理即可求解；
（3）求得弧AD的弧長，即圓錐的底面圓周長，根據圓的周長公式即可求得半徑．

解答：證明：（1）連接BC，
∵CD是直徑，
∴∠DBC=90°，（1分）
∵CD⊥AB，
∴∠DMB=90°，
∵∠BDC=∠MDB，
∴△BDC∽△MDB，（2分）
∴

BD

MD

=

DC

BD

，
∴BD²=DM•CD；（4分）

（2）解：連接OB，則OB=OD=OC=

1

2

CD=

1

2

×16=8，（4分）
∵CD是直徑，CD⊥AB，
∴BM=

1

2

AB=

1

2

×8=4，（6分）
在Rt△OMB中，sin∠BOM=

BM

OB

=

4

8

=

1

2

，
∴∠BOM=30°，
∴∠D=

1

2

∠BOM=

1

2

×30°=15°；（9分）

（3）解：由⊙O關于直徑CD軸對稱知：∠AOD=∠BOD=180°-30°=150°，（10分）
∴弧AD的長度

AD

l=

150×π×8

180

=

20

3

π，（11分）
由扇形弧長等于所圍成圓錐底面圓的周長可得：

20

3

π=2π•r，
解得：r=

10

3

，
所以用扇形AOD圍成的圓錐底面半徑r為

10

3

．（12分）

點評：本題主要考查了相似三角形的性質，垂徑定理以及圓錐的側面展開圖，正確解直角三角形求得∠BOM的度數是解題的關鍵．