Question

（2013•陜西）在平面直角坐標系中，一個二次函數的圖象經過點A（1，0）、B（3，0）兩點．
（1）寫出這個二次函數圖象的對稱軸；
（2）設這個二次函數圖象的頂點為D，與y軸交于點C，它的對稱軸與x軸交于點E，連接AC、DE和DB，當△AOC與△DEB相似時，求這個二次函數的表達式．
[提示：如果一個二次函數的圖象與x軸的交點為A（x₁，0）、B（x₂，0），那么它的表達式可表示為y=a（x-x₁）（x-x₂）]．

Answer 1

分析：（1）根據二次函數對稱性得出對稱軸即可；
（2）首先求出C，D點坐標，進而得出CO的長，利用當△AOC與△DEB相似時，根據①假設∠OCA=∠EBD，②假設∠OCA=∠EDB，分別求出即可．

解答：解；（1）∵二次函數的圖象經過點A（1，0）、B（3，0）兩點，
∴二次函數圖象的對稱軸為直線x=2；

（2）設二次函數的表達式為：y=a（x-1）（x-3）（a≠0），
當x=0時，y=3a，當x=2時，y=-a，
∴點C坐標為：（0，3a），頂點D坐標為：（2，-a），
∴OC=|3a|，
又∵A（1，0），E（2，0），
∴AO=1，EB=1，DE=|-a|=|a|，
當△AOC與△DEB相似時，
①假設∠OCA=∠EBD，
可得

AO

DE

=

OC

EB

，
即

1

|a|

=

|3a|

1

，
∴a=

3

3

或a=-

3

3

，
②假設∠OCA=∠EDB，可得

AO

BE

=

OC

ED

，
∴

1

1

=

|3a|

|a|

，此方程無解；，
綜上所述，所得二次函數的表達式為：
y=

3

3

x²-

4 3

3

x+

3

或y=-

3

3

x²+

4 3

3

x-

3

．

點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及相似三角形的判定與性質等知識，注意分類討論思想的應用是解題關鍵．