Question

拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）的頂點為B（-1，m）（m≠0），并且經(jīng)過點A（-3，0）．
（1）求此拋物線的解析式（系數(shù)和常數(shù)項用含m的代數(shù)式表示）；
（2）若由點A、原點O與拋物線上的一點P所構(gòu)成的三角形是等腰直角三角形，求m的值．

Answer 1

分析：（1）以m為已知數(shù)，用待定系數(shù)法求解析式；
（2）△POA為等腰直角三角形，分情況進行討論：①PA是等腰直角三角形AOP的斜邊，②OA是等腰直角三角形AOP的斜邊．

解答：解：（1）拋物線的頂點為B（-1，m），
因此，對稱軸是直線x=-1．
即-

b

2a

=-1
即有2a=b．①（1分）
又拋物線過點A（-3，0），B（-1，m），得
9a-3b+c=0，②
a-b+c=m③（2分）
解由①、②、③所組成的方程組，得
a=-

m

4

，b=-

m

2

，c=

3

4

m
∴所求解析式為y=-

m

4

x²-

m

2

x+

3

4

m（4分）
（2）分兩種情況討論：
①PA是等腰直角三角形AOP的斜邊，
此時OA=OP，又a＞0，
∴點P的坐標(biāo)為（0，-3）．
將x=0，y=-3代入y=-

m

4

x²-

m

2

x+

3

4

m中，
得m=-4．（6分）
②OA是等腰直角三角形AOP的斜邊．
此時PA=PO，則可求得P（-

3

2

，-

3

2

）
將x=-

3

2

，y=-

3

2

代入y=-

m

4

x²-

m

2

x+

3

4

m中，
得m=-

8

5

∴m的值為-4或-

8

5

（8分）

點評：本題考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法，同時還考查了分類討論思想，難度較大．