Question

【題目】如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=10，點E在CD上，將△BCE沿BE折疊，點C恰落在邊AD上的點F處；點G在AF上，將△ABG沿BG折疊，點A恰落在線段BF上的點H處，①∠EBG=45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG=S△FGH；④AG+DF=FG．則下列結論正確的有（ ）

A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③

Answer 1

【答案】B

【解析】

由折疊性質得∠1=∠2，CE=FE，BF=BC=10，則在Rt△ABF中利用勾股定理可計算出AF=8，所以DF=AD-AF=2，設EF=x，則CE=x，DE=CD-CE=6-x，在Rt△DEF中利用勾股定理得（6-x）2+22=x2，解得，即；再利用折疊性質得∠3=∠4，BH=BA=6，AG=HG，易得∠2+∠3=45°，于是可對①進行判斷；設AG=y，則GH=y，GF=8-y，在Rt△HGF中利用勾股定理得到y2+42=（8-y）2，解得y=3，則AG=GH=3，GF=5，由于∠A=∠D和，可判斷△ABG與△DEF不相似，則可對②進行判斷；根據三角形面積公式可對③進行判斷；利用AG=3，GF=5，DF=2可對④進行判斷．

∵△BCE沿BE折疊，點C恰落在邊AD上的點F處，
∴∠1=∠2，CE=FE，BF=BC=10，
在Rt△ABF中，∵AB=6，BF=10，
∴，
∴DF=AD-AF=10-8=2，
設EF=x，則CE=x，DE=CD-CE=6-x，
在Rt△DEF中，∵DE2+DF2=EF2，
∴（6-x）2+22=x2，解得，
∴，
∵△ABG沿BG折疊，點A恰落在線段BF上的點H處，
∴∠3=∠4，BH=BA=6，AG=HG，
∴，所以①正確；
HF=BF-BH=10-6=4，
設AG=y，則GH=y，GF=8-y，
在Rt△HGF中，∵GH2+HF2=GF2，
∴y2+42=（8-y）2，解得y=3，
∴AG=GH=3，GF=5，
∵∠A=∠D，

，

，
∴，
∴△ABG與△DEF不相似，所以②錯誤；
∵，

所以③正確；
∵AG+DF=3+2=5，而GF=5，
∴AG+DF=GF，所以④正確．
故答案為B．