Question

1．如圖，已知在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6，若將△ABC翻折，折痕EF分別交邊AB、邊AC于點E和點F且點A落在BC邊上，記作點D．設BD=x，y=tan∠AFE．
（1）連AD交折痕EF于點P，當點E從AB邊中點運動到與點B重合的過程中，點P的運動路徑長是多少？（直接寫出答案）
（2）若點E不與B點重合，點F不與C點重合，求y關于x的函數關系式及x的取值范圍；
（3）當$\frac{AD}{EF}$=$\frac{4}{5}$時，求x的值．

Answer 1

分析 （1）根據軸對稱的性質、勾股定理和三角函數進行解答即可；
（2）過點D作DG⊥BC，交直線AC于點G，由相似三角形的判定和性質得出y關于x的函數關系式即可；
（3）當$\frac{AD}{EF}$=$\frac{4}{5}$時，設AD=4a，根據解直角三角形得出y的值，再代入可得x的值．

解答 解：（1）如圖1，由軸對稱的性質可得，點P是AD的中點，點P'是AD'的中點，

當點E是AB的中點時，AD是BC邊上的高，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC=10，
故sin∠ABC=cos∠ACB=$\frac{AC}{BC}=\frac{3}{5}$，sin∠ACB=cos∠ABC=$\frac{4}{5}$，tan∠ABC=$\frac{3}{4}$，
∴BC=AB•cos∠ABC=$\frac{32}{5}$，
當點E與點B重合時，BD'=AB=8，DD'=BD'-BD=8-$\frac{32}{5}=\frac{8}{5}$，
∴由三角形的中位線的性質可得，點P運動的路徑長為$\frac{1}{2}×\frac{8}{5}=\frac{4}{5}$；
（2）如圖2，過點D作DG⊥BC，交直線AC于點G，

則∠ADC=∠EDF=∠BAC=90°，由等式的性質可得∠BDE=∠GDF，
∵∠B=∠DGF（同角的余角相等），
∴△BDE∽△GDF，
∴$\frac{BD}{DG}=\frac{DE}{DF}$，
而$\frac{DE}{DF}=tan∠DFE=tan∠AFE=y$，
在Rt△CDG中，DG=CD$•tan∠C=\frac{4}{3}（10-x）$，
∴$y=\frac{3x}{4（10-x）}（4≤x≤8）$；
（3）由軸對稱的性質可得，AP=DP=$\frac{1}{2}AD$，設AD=4a，
則AP=2a，EF=5a，在Rt△APF中，PF=$\frac{AP}{y}=\frac{2a}{y}$，
在Rt△AEP中，EP=AP•y=2ay，
∴$\frac{2a}{y}+2ay=5a$，
解得：${y}_{1}=\frac{1}{2}，{y}_{2}=2$，
當$y=\frac{1}{2}$時，$\frac{3x}{4（10-x）}=\frac{1}{2}$，解得：x=4；
當y=2時，$\frac{3x}{4（10-x）}=2$，解得：x=$\frac{80}{11}$．

點評 本題主要考查了幾何變換問題，關鍵是根據軸對稱的性質、銳角三角函數的定義、解直角三角形和相似三角形的判定和性質等知識解答．