Question

已知拋物線y=ax² +bx+c與y軸交于點(diǎn)A(0，3)，與x軸交于B(1，0)、C(5，0)兩點(diǎn)．  
(1)求此拋物線的解析式；  
(2)若點(diǎn)D為線段OA的一個(gè)三等分點(diǎn)，求直線DC的解析式；  
(3)若一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P自O(shè)A的中點(diǎn)M出發(fā)，先到達(dá)x軸上的某點(diǎn)(設(shè)為點(diǎn)E)，再到達(dá)拋物    線的對(duì)稱軸上的某點(diǎn)(設(shè)為點(diǎn)F)，最后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A.求使點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路徑最短的點(diǎn)E、點(diǎn)F的坐標(biāo)，并求出這個(gè)最短總路徑的長．

Answer 1

解：(l)拋物線解析式為．
(2)依題意可得OA的三等分點(diǎn)分別為(0，1)，(0，2)．  
設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b,  當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，1)時(shí)，
直線CD的解析式為  當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，2)時(shí)，
直線CD的解析式為
(3)由題意可得M(0，)，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為M' (0，-)，點(diǎn)A關(guān)于拋物線對(duì)稱軸x=3的對(duì)稱點(diǎn)為A'(6，3)．連接A'M'．根據(jù)軸對(duì)稱性及兩點(diǎn)間線段最短可知，
A'M'的長就是所求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的最短路徑的長，
所以A'M'與x軸的交點(diǎn)為所求E點(diǎn)，與直線x=3的交點(diǎn)為所求F點(diǎn)，
可求得直線A'M'的解析式為y=．
可得E點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，)，
由勾股定理求A'M'=，
所以點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的最短總路徑(ME-+EF+FA)的長為．