Question

【題目】如圖，已知二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經過A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三點．

（1）求該二次函數的解析式；

（2）設點D是在x軸上方的二次函數圖象上的點，且△DAB的面積為5，求出所有滿足條件的點D的坐標；

（3）能否在拋物線上找點P，使∠APB＝90°？若能，請直接寫出所有滿足條件的點P；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點D的坐標為（0，2）或（3，2）；（3）能，滿足條件的點P的坐標為（0，2）或（3，2）.

【解析】

（1）根據點A、B、C的坐標，利用待定系數法即可求出二次函數的解析式；

（2）設點D的縱坐標為m（m＞0），根據三角形的面積公式結合△DAB的面積為5，即可得出關于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，再利用二次函數圖象上點的坐標特征即可求出點D的坐標；

（3）假設成立，等點P與點C重合時，可利用勾股定理求出AP、BP的長度，由AP2+BP2=AB2可得出此時∠APB=90°，再利用二次函數圖象的對稱性即可找出點P的另一坐標，此題得解．

解：（1）∵二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經過A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三點，

∴，解得：，

∴該二次函數的解析式為．

（2）設點D的縱坐標為m（m＞0），

則，

∴m＝2．

當y＝2時，有，

解得：x1＝0，x2＝3，

∴滿足條件的點D的坐標為（0，2）或（3，2）．

（3）假設能，當點P與點C重合時，

有，

∵，即AP2+BP2＝AB2，

∴∠APB＝90°，

∴假設成立，點P的坐標為（0，2）．

由對稱性可知：當點P的坐標為（3，2）時，∠APB＝90°．

故滿足條件的點P的坐標為（0，2）或（3，2）．