Question

【題目】已知：正方形紙片ABCD的邊長為4，將該正方形紙片沿EF折疊（E，F分別在AB，CD邊上），使點B落在AD邊上的點M處，點C落在點N處，MN與CD交于點P．

（1）如圖①，連接PE，若M是AD邊的中點．
①寫出圖中與△PMD相似的三角形．
②求△PMD的周長．
（2）如圖②，隨著落點M在AD邊上移動（點M不與A、D重合），△PDM的周長是否發生變化？請說明你的理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①依據翻折的性質可知∠EMP=∠B=90°，∠C=∠N=90°

∴∠AME+∠PMD=90°．

又∵∠AME+∠AEM=90°，

∴∠AEM=∠PMD．

又∵∠A=∠D，

∴△AME∽△DPM．

∵∠MPD=∠FPN，∠D=∠N=90°

∴△MPD∽△FPN．

∵△AME∽△DPM，

∴ ．

又∵AM=MD，

∴ ．

又∵∠EMP=∠D=90°，

∴△EMP∽△MDP．

所以有：△AME∽△DPM，△AME∽△DPM，△EMP∽△MDP．

②∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=AB=4．

∵點M是AD邊中點，

∴AM=DM=2．

由折疊的性質得：ME=BE，

∴△MEA的周長為6．

在Rt△MEA中，設AE=x，則ME=4﹣x．

∴x2+22=（4﹣x）2，解得：x= ．

∵△PMD∽△MEA，

∴ = = ，即 ．

∴△PMD的周長為8

（2）

解：△PMD的周長不變．

設AM=m，AE=n，則DM=4﹣m，EM=4﹣n，△AEM的周長=4+m．

在Rt△AME中，依據勾股定理可知：m2+n2=（4﹣n）2，即8n=16﹣m2．

∵△PMD∽△MEA，

∴ = ．

∴△PMD的周長= = = =8

【解析】（1）①依據兩組角對應相等的三角形相似可證明△AEM∽△DMP，△PFN∽△PMD，然后依據兩組邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似證明△EMP∽△MDP即可；②設AE=x，則EM=4﹣x，在Rt△AEM中，依據勾股定理可求得x的值，然后可求得△AEM的周長，然后依據相似三角形的周長比等于相似比求解即可；（2）設AM=m，AE=n，則DM=4﹣m，EM=4﹣n．在Rt△AEM中，依據勾股定理和完全平方公式可得到8n=16﹣m2 ， 然后可△PMD∽△MEA可求得△PMD的周長．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用翻折變換（折疊問題）和相似三角形的應用的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應點的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和角相等；測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解．