Question

【題目】已知關于的方程．

求證：無論取任何實數時，方程總有實數根；

當拋物線（為正整數）圖象與軸兩個交點的橫坐標均為整數，求此拋物線的解析式；

已知拋物線恒過定點，求出定點坐標．

Answer 1

【答案】證明見解析 ； 、

【解析】

（1）分類討論：該方程是一元一次方程和一元二次方程兩種情況．當該方程為一元二次方程時，根的判別式△≥0，方程總有實數根；

（2）通過解kx2+（2k+1）x+2=0得到k=1，由此得到該拋物線解析式為y=x2+3x+2，結合圖象回答問題．

（3）根據題意得到kx2+（2k+1）x+2-y=0恒成立，由此列出關于x、y的方程組，通過解方程組求得該定點坐標．

證明：①當時，方程為，所以，方程有實數根，

②當時，∵，即，

∴無論取任何實數時，方程總有實數根；

解：令，則，

解關于的一元二次方程，得，，

∵二次函數的圖象與軸兩個交點的橫坐標均為整數，且為正整數，

∴．

∴該拋物線解析式為；

依題意得恒成立，即恒成立，

則，

解得或．

所以該拋物線恒過定點、．