Question

【題目】如圖，A（0，4）是直角坐標系 y 軸上一點，動點 P 從原點 O 出發，沿 x 軸正半軸運動，速度為每秒 1 個單位長度，以P為直角頂點在第一象限內作等腰Rt△APB．設P點的運動時間為 t 秒．

（1）若 AB∥x 軸，求 t 的值；

（2）若OP=OA，求B點的坐標．

（3）當 t=3 時，x 軸上是否存在有一點 M，使得以 M、P、A 為頂點的三角形是等腰三角形，請直接寫出點 M 的坐標．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）點 B 的坐標為（6，2）；（3）見解析.

【解析】

由 AB∥x 軸，可找出四邊形 ABCO 為長方形，再根據△APB 為等腰三角形可得知∠OAP=45°，從而得出△AOP 為等腰直角三角形，由此得出結論；

作 BQ⊥x 軸于點 Q，證△OAP≌△QPB 得 BQ=OP=OA=2，PQ=AO=4，據此知 OQ=OP+PQ=6，從而得出答案；

設點 M（x，0），知 MA=，MP=|x-3|，再分 MA=MP，MA=AP， AP=MP 三種情況求解可得．

解：（1）過點 B 作 BC⊥x 軸于點 C，如圖 1 所示．

∵AO⊥x 軸，BC⊥x 軸，且 AB∥x 軸，

∴四邊形 ABCO 為長方形，

∴AO=BC=4．

∵△APB 為等腰直角三角形，

∴AP=BP，∠PAB=∠PBA=45°，

∴∠OAP=90°-∠PAB=45°，

∴△AOP 為等腰直角三角形，

∴OA=OP=4．

t=4÷1=4 （秒）， 故 t 的值為 4．

（2）如圖 2，過點 B 作 BQ⊥x 軸于點 Q，

∴∠AOP=∠BQP=90°，

∴∠OAP+∠OPA=90°，

∵△ABP 為等腰直角三角形，

∴PA=PB，∠APB=90°，

∴∠AOP+∠BPQ=90°，

∴∠OAP=∠QPB，

∴△OAP≌△QPB（AAS），

∴ BQ=OP= OA=2，PQ=AO=4，

則 OQ=OP+PQ=6，

∴點 B 的坐標為（6，2）；

（3）當 t=3 時，即 OP=3，

∵OA=4，

∴AP=5，

設點 M（x，0），

則 MA==，MP=|x-3|，

①當 MA=MP 時， =|x-3|，解得

x=- ；

②當 MA=AP 時， =5，解得 x=-3 或 x=3（舍）；

③當 AP=MP 時，|x-3|=5，解得：x=8 或 x=-2；

綜上，點 M 的坐標為（ ，0）或（-3，0）或（8，0）或（-2，0）