Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為菱形，對角線AC，BD相交于點E，F是邊BA延長線上一點，連接EF，以EF為直徑作⊙O，交DC于D，G兩點，AD分別于EF，GF交于I，H兩點．

（1）求∠FDE的度數；

（2）試判斷四邊形FACD的形狀，并證明你的結論；

（3）當G為線段DC的中點時，

①求證：FD=FI；

②設AC=2m，BD=2n，求⊙O的面積與菱形ABCD的面積之比．

Answer 1

【答案】（1）90°；（2）四邊形FACD是平行四邊形；（3）①證明見試題解析；②．

【解析】

試題（1）根據圓周角定理即可得到∠FDE=90°；

（2）由四邊形ABCD是菱形，得到AB∥CD，AC⊥BD，∠AEB=90°，又由∠FDE=90°，得到∠AEB=∠FDE，從而有AC∥DF，故故可得到結論；

（3）①連接GE，易證GE是△ACD的中位線，即可得到GE∥DA，即可得到∠FHI=∠FGE=∠FGE=90°．由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DG=GE，從而有，由圓周角定理可得∠1=∠2，再根據等角的余角相等可得∠3=∠4，進一步由等角對等邊可得FD=DI；

②易知S⊙O=，S菱形ABCD=2mn，易證EI=EA=m，DF=AC=2m，EF=FI+IE=DF+AE=3m，在Rt△DEF中運用勾股定理即可解決問題．

試題解析：（1）∵EF是⊙O的直徑，∴∠FDE=90°；

（2）四邊形FACD是平行四邊形．理由如下：

∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，∴∠AEB=90°，又∵∠FDE=90°，∴∠AEB=∠FDE，∴AC∥DF，∴四邊形FACD是平行四邊形；

（3）①連接GE，如圖．∵四邊形ABCD是菱形，∴點E為AC中點，∵G為線段DC的中點，∴GE∥DA，∴∠FHI=∠FGE，∵EF是⊙O的直徑，∴∠FGE=90°，∴∠FHI=90°，∵∠DEC=∠AEB=90°，G為線段DC的中點，∴DG=GE，∴，∴∠1=∠2．∵∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，∴∠3=∠4，∴FD=FI；

②∵AC∥DF，∴∠3=∠6，∵∠4=∠5，∠3=∠4，∴∠5=∠6，∴EI=EA，∵四邊形ABCD是菱形，四邊形FACD是平行四邊形，∴DE=BD=n，AE=AC=m，FD=AC=2m，∴EF=FI+IE=FD+AE=3m，在Rt△EDF中，根據勾股定理可得：，即，∴S⊙O==，S菱形ABCD=，∴S⊙O：S菱形ABCD=．