Question

已知：平面直角坐標系中，四邊形OABC的頂點分別為O(0，0)、A（5，0）、B(m，2)、C(m－5，2)．

（1）問：是否存在這樣的m，使得在邊BC上總存在點P，使∠OPA＝90º？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

（2）當∠AOC與∠OAB的平分線的交點Q在邊BC上時，求m的值．

Answer 1

解：（1）由題意，知：BC∥OA.以OA為直徑作⊙D，與直

線BC分別交于點E、F，則∠OEA=∠OFA=90º.

作DG⊥EF于G，連DE，則DE＝OD＝2.5，DG＝2，

EG＝GF，∴ EG＝ ＝1.5，

∴點E(1，2)，點F(4，2)．

∴當即1≤m≤9時，邊BC上總存在這樣的點P，

使∠OPA＝90º.

（2）∵BC=5=OA，BC∥OA，∴四邊形OABC是平行四邊形.

當Q在邊BC上時，∠OQA =180º－∠QOA－∠QAO

=180º－(∠COA+∠OAB)=90º，∴點Q只能是點E或點F．

當Q在F點時，∵OF、AF分別是∠AOC與∠OAB的平分

線，BC∥OA，∴∠CFO＝∠FOA=∠FOC，∠BFA＝∠FAO=

∠FAB，∴CF＝OC，BF＝AB，∵OC＝AB，∴F是BC的中

點．∵F點為 (4，2)，∴此時m的值為6.5．

當Q在E點時，同理可求得此時m的值為3.5．