Question

【題目】在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，點D從點C出發沿CA方向以4cm/秒的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發沿AB方向以2cm/秒的速度向點B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設點D、E運動的時間是t秒（0＜t≤15）．過點D作DF⊥BC于點F，連接DE，EF．（備注：在直角三角形中30度角所對的邊是斜邊的一半）

（1）求證：AE=DF；

（2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應的t值，如果不能，說明理由；

（3）當t為何值時，△DEF為直角三角形？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）、證明過程見解析；（2）、t=10；（3）、t=或12，理由見解析

【解析】

試題分析：（1）、根據Rt△ABC的性質得出AB=30cm，根據CD=4t，AE=2t以及Rt△CDF的性質得出答案；（2）、根據DF∥AB，DF=AE，得出四邊形AEFD是平行四邊形，根據菱形的性質得出t的值；（3）、本題需要分兩種情況分別進行計算.當∠EDF=90°時，AD=2AE，從而求出t的值；當∠DEF=90°時，AE=2AD，從而求出t的值.

試題解析：（1）、∵在Rt△ABC中，∠C=90°﹣∠A=30°， ∴AB=AC=×60=30cm

∵CD=4t，AE=2t， 又∵在Rt△CDF中，∠C=30°，∴DF=CD=2t ∴DF=AE

（2）、能。

∵DF∥AB，DF=AE，∴四邊形AEFD是平行四邊形

當AD=AE時，四邊形AEFD是菱形，即60﹣4t=2t，解得：t=10

∴當t=10時，AEFD是菱形

（3）、若△DEF為直角三角形，有兩種情況：

①如圖1，∠EDF=90°，DE∥BC，

則AD=2AE，即60﹣4t=2×2t，解得：t=。

②如圖2，∠DEF=90°，DE⊥AC，

則AE=2AD，即2t=2（60-4t），解得：t=12。

綜上所述，當t=或12時，△DEF為直角三角形