Question

如圖，以矩形OABC的頂點O為原點，OA所在的直線為x軸，OC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系．已知OA=3，OC=2，點E是AB的中點，在OA上取一點D，將△BDA沿BD翻折，使點A落在BC邊上的點F處．
（1）直接寫出點E、F的坐標；
（2）若P在坐標軸上，且以點E、F、C、P為頂點的四邊形是梯形，求點P的坐標；
（3）在x軸、y軸上是否分別存在點M、N，使得四邊形MNFE的周長最小？如果存在，求出周長的最小值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）△BDA沿BD翻折，使點A落在BC邊上的點F處，可以知道四邊形ADFB是正方形，因而BF=AB=OC=2，則CF=3-2=1，因而E、F的坐標就可以求出．
（2）由于P點位置不能確定，故應分點P在x軸上與y軸上兩種情況進行討論；
（3）作點E關于x軸的對稱點E′，作點F關于y軸的對稱點F′，連接E′F′，分別與x軸、y軸交于點M，N，則點M，N就是所求點．求出線段E′F′的長度，就是四邊形MNFE的周長的最小值．

解答：解：（1）E（3，1）；F（1，2）．

（2）如圖1所示，當點P在y軸上時，
∵EF與OC不可能平行，
∴PE∥CF，
∵E（3，1），
∴P（0，1）；
當點P在x軸上時，如圖2所示，
∵CF∥x軸，點E（3，1），
∴EF∥PC，
設P（n，0），直線EF的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵E（3，1），F（1，2），
∴

3k+b=1 k+b=2

，解得

k=- 1 2 b= 5 2

，
∴直線EF的解析式為y=-

1

2

x+

5

2

，
∴設直線PC的解析式為y=-

1

2

x+a，
∵C（0，2），
∴a=2，
∴直線PC的解析式為y=-

1

2

x+2，
把P（n，0），代入得，-

1

2

n+2=0，解得n=4，
∴P（4，0）．
綜上所述，P（0，1）或（4，0）；

（3）存在點M，N，使得四邊形MNFE的周長最小．
如圖3，作點E關于x軸的對稱點E′，作點F關于y軸的對稱點F′，
連接E′F′，分別與x軸、y軸交于點M，N，則點M，N就是所求點．
∴E′（3，-1），F′（-1，2），NF=NF′，ME=ME′．
∴BF′=4，BE′=3．
∴FN+NM+ME=F′N+NM+ME′=E′F′=

32+42

=5．
又∵EF=

5

，
∴FN+MN+ME+EF=5+

5

，
此時四邊形MNFE的周長最小值是5+

5

．

點評：本題主要考查了待定系數法求函數解析式，求線段的和最小的問題基本的解決思路是根據對稱轉化為兩點之間的距離的問題．