Question

【題目】如圖，在正方形ABCD外取一點E，連接AE、BE、DE．過點A作AE的垂線交DE于點P．若AE=AP=1，PB=，下列結論：① △APD≌△AEB；② EB⊥ED；③ 點B到直線AE的距離為； ④，其中正確結論的序號是（ ）

A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④

Answer 1

【答案】B

【解析】

①利用同角的余角相等，易得∠EAB=∠PAD,再結合已知條件利用SAS可證兩三角形全等；②利用①中的全等,可得∠APD=∠AEB,結合三角形的外角的性質,易得∠BEP=90°,即可證；③過B作BF⊥AE，交AE的延長線于F,利用③中的∠BEP=90°，利用勾股定理可求BE,結合△AEP是等腰直角三角形，可證△BEF是等腰直角三角形,再利用勾股定理可求EF、BF；④連接BD,求出△ABD的面積，然后減去△BDP的面積即可.

解:①∵∠EAB+∠BAP=90°，

∠PAD十∠BAP=90°,

∴∠EAB=∠PAD,

又∵AE=AP,AB=AD,

∵在△APD和△AEB中，

△APD≌△AEB(SAS)；

故此選項成立;

②∵△APD=△AEB，

∴∠APD=∠AEB,

∵∠AEB=∠AEP+∠BEP,

∠APD=∠AEP+∠PAE,

∴∠BEP=∠PAE= 90°，

∴EB⊥ED;

故此選項成立;

③過B作BF⊥AE ,交AE的延長線于F,

∵AE=AP,∠EAP=90°，

∴∠AEP=∠APE=45°,

又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，

又∵BE=,

∴BF=EF=,

∴點B到直線AE的距離為,

故此選項不正確,

④如圖，連接BD，

在Rt△AEP中,

∵AE=AP=1,

∴EP=,

又∵PB=,

∴BE=,

∵△APD≌△AEB,

∴PD=BE=,

∴S△ABP＋S△ADP＝S△ABD－S△BDP=S正方形ABCD－×DP×BE＝×（4＋）－××＝＋,

故此選項不正確,

∴正確的有①②④,

∴B選項正確.