Question

【題目】已知函數f（x）=x3+ax2+bx有兩個極值點x1、x2 ， 且x1＜x2 ， 若x1+2x0=3x2 ， 函數g（x）=f（x）﹣f（x0），則g（x）（ ）
A.恰有一個零點
B.恰有兩個零點
C.恰有三個零點
D.至多兩個零點

Answer 1

【答案】B
【解析】解：f（x）=x3+ax2+bx，求導，f′（x）=3x2+2ax+b，由函數f（x）有兩個極值點x1、x2 ， 則x1、x2是方程3x2+2ax+b=0的兩個根，則x1+x2=﹣ ，x1x2= ，
∴a=﹣ ，①
由x1+2x0=3x2 ， 則x0= =x2+ ＞x2 ，
由函數圖象可知：令f（x1）=f（x）的另一個解為m，

則x3+ax2+bx﹣f（x1）=（x﹣x1）2（x﹣m），
則 ，則m=﹣a﹣2x1 ，
將①代入②整理得：m= ﹣2x1= =x0 ， ∴f（x）=f（m）=f（x0），
∴g（x）只有兩個零點，即x0和m，
故選：B．
由題意可知：x1、x2是方程3x2+2ax+b=0的兩個根，由韋達定理可知：x1+x2=﹣ ，x1x2= ，由x1+2x0=3x2 ， x0= ＞0，令f（x1）=f（x）的另一個解為m，即可求得m=﹣a﹣2x1 ， 則f（x）=f（m）=f（x0），