Question

【題目】如圖，拋物線 與直線 交于A、B兩點，點A在x軸上，點B的橫坐標(biāo)是2．點P在直線AB上方的拋物線上，過點P分別作PC∥y軸、PD∥x軸，與直線AB交于點C、D，以PC、PD為邊作矩形PCQD，設(shè)點Q的坐標(biāo)為（m，n）．

（1）點A的坐標(biāo)是 ， 點B的坐標(biāo)是；
（2）求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（3）求m與n之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量n的取值范圍）；
（4）請直接寫出矩形PCQD的周長最大時n的值．

Answer 1

【答案】
（1）（﹣2，0）；（2，2）
（2）

解：由題意，得 ，

解得

所以，這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣ x2+ x+3；

（3）

解：∵點Q的坐標(biāo)為（m，n），

∴ x+1=n，

解得x=2n﹣2，

所以，點C的坐標(biāo)為（2n﹣2，n），

點D的坐標(biāo)為（m， m+1），

∴點P的坐標(biāo)為（2n﹣2， m+1），

將（2n﹣2， m+1）代入y=﹣ x2+ x+3，得﹣ ×（2n﹣2）2+ ×（2n﹣2）+3= m+1，

整理得，m=﹣4n2+10n﹣2，

所以，m，n之間的函數(shù)關(guān)系式是m=﹣4n2+10n﹣2；

（4）

解：∵C（2n﹣2，n），P（2n﹣2， m+1），Q（m，n），

∴PC= m+1﹣n，CQ=m﹣（2n﹣2）=m﹣2n+2，

∴矩形PCQD的周長=2（ m+1﹣n+m﹣2n+2），

=3m﹣6n+6，

=3（﹣4n2+10n﹣2）﹣6n+6，

=﹣12n2+24n，

=﹣12（n﹣1）2+12，

∴當(dāng)n=1時，矩形PCQD的周長最大．

【解析】解：（1）令y=0，則 x+1=0，
解得x=﹣2，
所以，點A（﹣2，0），
∵點B的橫坐標(biāo)是2，
∴y= ×2+1=2，
∴B（2，2）；
【考點精析】利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．