Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線AB與x軸交于點B、與y軸交于點A，與反比例函數y= 的圖象在第二象限交于C，CE⊥x軸，垂足為點E，tan∠ABO= ，OB=4，OE=2．

（1）求反比例函數的解析式；
（2）若點D是反比例函數圖象在第四象限內的點，過點D作DF⊥y軸，垂足為點F，連接OD、BF．如果S△BAF=4S△DFO ， 求點D的坐標．
（3）若動點D在反比例函數圖象的第四象限上運動，當線段DC與線段DB之差達到最大時，求點D的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵tan∠ABO= ，

∴ = ，且OB=4，

∴OA=2，

∵CE⊥x軸，即CE∥AO，

∴△AOB∽△CEB，

∴ = ，即 = ，解得CE=3，

∴C（﹣2，3），

∴m=﹣2×3=﹣6，

∴反比例函數解析式為y=﹣

（2）

解：設D（x，﹣ ），

∵D在第四象限，

∴DF=x，OF= ，

∴S△DFO= DFOF= x× =3，

由（1）可知OA=2，

∴AF=x+ ，

∴S△BAF= AFOB= （x+ ）×4=2（x+ ），

∵S△BAF=4S△DFO，

∴2（x+ ）=4×3，解得x=3+ 或x=3﹣ ，

當x=3+ 時，﹣ 的值為3﹣ ，

當x=3﹣ 時，﹣ 的值為3+ ，

∵D在第四象限，

∴x=3﹣ 不合題意，舍去，

∴D（3+ ，3﹣ ）

（3）

解：∵D在第四象限，

∴在△BCD中，由三角形三邊關系可知CD﹣CB≤BC，即當B、C、D三點共線時，其差最大，

設直線AB解析式為y=kx+b，

由題意可得 ，解得 ，

∴直線AB解析式為y=﹣ x+2，

聯立直線AB和反比例函數解析式可得 ，解得 或 （舍去），

∴D（6，﹣1），

即當線段DC與線段DB之差達到最大時求點D的坐標為（6，﹣1）

【解析】（1）由條件可求得OA，由△AOB∽△CEB可求得CE，則可求得C點坐標，代入反比例函數解析式可求得m的值，可求得反比例函數解析式；（2）設出D的坐標，從而可分別表示出△BAF和△DFO的面積，由條件可列出方程，從而可求得D點坐標；（3）在△BCD中，由三角形三邊關系可知CD﹣CB≤BC，當B、C、D三點共線時，其差最大，聯立直線BC與反比例函數解析式可求得D點坐標．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解反比例函數的性質的相關知識，掌握性質:當k＞0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內y值隨x值的增大而減小； 當k＜0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內y值隨x值的增大而增大，以及對三角形三邊關系的理解，了解三角形兩邊之和大于第三邊；三角形兩邊之差小于第三邊；不符合定理的三條線段，不能組成三角形的三邊．