Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=Rt∠，AB=AD=10cm，BC=8cm．點P從點A出發，以每秒2cm的速度沿線段AB方向向點B運動，點Q從點D出發，以每秒3cm的速度沿線段DC方向向點C運動．已知動點P、Q同時發，當點P運動到點B時，P、Q運動停止，設運動時間為t．
（1）求CD的長；
（2）當四邊形PBQD為平行四邊形時，求四邊形PBQD的周長；
（3）在點P、點Q的運動過程中，是否存在某一時刻，使得△BPQ的面積為20cm²？若存在，請求出所有滿足條件的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）作AE⊥CD，則AB=CE=10cm，AE=BC=8cm，然后，根據勾股定理，可得DE的長，即可解答；
（2）由題意可知，BP=DQ，即10-2t=3t，解出t，然后，根據勾股定理，可求得BQ的值，即可求得平行四邊形PBQD的周長；
（3）由題意得BP=10-2t，如圖，由三角形的面積是20，可解答出t值；

解答：解：（1）作AE⊥CD，
∴四邊形ABCE是矩形，
∴AB=CE=10cm，AE=BC=8cm，
∴在直角△AED中，
DE=

AD2-AE2

=

102-82

=6cm，
∴CD=16cm．

（2）當四邊形PBQD為平行四邊形時，點P在AB上，點Q在DC上，
如圖，由題知：BP=10-2t，DQ=3t
∴10-2t=3t，解得t=2，
∴BP=DQ=6，CQ=10，
∴BQ=

82+102

=2

41

，
∴四邊形PBQD的周長=2（BP+BQ）=12+4

41

（cm）．

（3）假設存在某一時刻，使得△BPQ的面積為20cm²，
∵BP=10-2t，
∴S_△BPQ=

1

2

BP•BC=

1

2

(10-2t)×8=20，
∴t=

5

2

，
∴當t=

5

2

秒時△BPQ的面積為20cm²．

點評：本題主要考查了直角梯形、勾股定理和平行四邊形的性質定理，注意動點線段的表示方法，考查了學生對知識的綜合運用能力．