Question

某高科技發展公司投資500萬元，成功研制出一種市場需求量較大的高科技替代品，并投入資金1500萬元進行批量生產．已知生產每件產品還需再投入40元，在銷售過程中發現：當銷售單價定為100元時，年銷售量為20萬件；銷售單價每增加10元，年銷售量將減少1萬件，設銷售單價為x（元），年銷售量為y（萬件），年獲利為z（萬元）．
（1）寫出y與x及z與x的函數關系式；
（2）公司計劃：在第一年按獲利最大確定銷售單價，進行銷售；第二年年獲利不低于1130萬元，借助函數的說明，第二年的銷售單價（元）應確定在什么范圍內？

Answer 1

分析：（1）銷售單價為x元，用x表示出年銷售量和每件產品銷售利潤，利用每件產品銷售利潤×年銷售量=年獲利列出函數解答；
（2）利用配方法求得第一年按獲利最大的銷售單價，求得第二年的年獲利函數，畫出圖象，利用圖象解答即可．

解答：解：（1）依題意知，當銷售單價為x元時，年銷售量將減少

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（x-100）萬件，
因此y=20-

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（x-100）=-

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x+30，
z=（-

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x+30）（x-40）-500-1500=-

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x²+34x-3200；

（2）z=-

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x²+34x-3200=-

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（x-170）²-310；
因此當x=170時，z取得最大值-310，
第二年的銷售單價定為x元時，則年獲利為
z=（-

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x+30）（x-40）-310=-

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x²+34x-1510；
當z=1130時，1130=-

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x²+34x-1510，
解得x₁=120，x₂=220，
函數z=-

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x²+34x-1510的圖象大致如圖：

由圖象可知當120≤x≤220時，z≥1130．

點評：此題考查利用基本數量關系列二次函數，配方法的運用以及利用圖象求一元二次不等式的解．