Question

【題目】如圖，反比例函數y= 的圖象經過點A（﹣1，4），直線y=﹣x+b（b≠0）與雙曲線y= 在第二、四象限分別相交于P，Q兩點，與x軸、y軸分別相交于C，D兩點．
（1）求k的值；
（2）當b=﹣2時，求△OCD的面積；
（3）連接OQ，是否存在實數b，使得S△ODQ=S△OCD？若存在，請求出b的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵反比例函數y= 的圖象經過點A（﹣1，4），

∴k=﹣1×4=﹣4；

（2）解：當b=﹣2時，直線解析式為y=﹣x﹣2，

∵y=0時，﹣x﹣2=0，解得x=﹣2，

∴C（﹣2，0），

∵當x=0時，y=﹣x﹣2=﹣2，

∴D（0，﹣2），

∴S△OCD= ×2×2=2

（3）解：存在．

當y=0時，﹣x+b=0，解得x=b，則C（b，0），

∵S△ODQ=S△OCD，

∴點Q和點C到OD的距離相等，

而Q點在第四象限，

∴Q的橫坐標為﹣b，

當x=﹣b時，y=﹣x+b=2b，則Q（﹣b，2b），

∵點Q在反比例函數y=﹣ 的圖象上，

∴﹣b2b=﹣4，解得b=﹣ 或b= （舍去），

∴b的值為﹣ ．

【解析】（1）根據反比例函數的圖象上點的坐標特征易得k=﹣4；（2）當b=﹣2時，直線解析式為y=﹣x﹣2，則利用坐標軸上點的坐標特征可求出C（﹣2，0），D（0，﹣2），然后根據三角形面積公式求解；（3）先表示出C（b，0），根據三角形面積公式，由于S△ODQ=S△OCD ， 所以點Q和點C到OD的距離相等，則Q的橫坐標為（﹣b，0），利用直線解析式可得到Q（﹣b，2b），再根據反比例函數的圖象上點的坐標特征得到﹣b2b=﹣4，然后解方程即可得到滿足條件的b的值．