Question

已知拋物線交x軸于A（1，0）、B（3，0）兩點，交y軸于點C，其頂點為D。

（1）求b、c的值并寫出拋物線的對稱軸；
（2）連接BC，過點O作直線OE⊥BC交拋物線的對稱軸于點E。求證：四邊形ODBE是等腰梯形；
（3）拋物線上是否存在點Q，使得△OBQ的面積等于四邊形ODBE的面積的？若存在，求點Q的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）求出：b=-4，c=3，拋物線的對稱軸為：x=2； （2）拋物線的解析式為，易得C點坐標為（0，3），D點坐標為（2，-1）， 設拋物線的對稱軸DE交x軸于點F，易得F點坐標為（2，0）， 連接OD，DB，BE， ∵△OBC是等腰直角三角形，△DFB也是等腰直角三角形，E點坐標為（2，2）， ∴∠BOE=∠OBD=45°， ∴OE∥BD， ∴四邊形ODBE是梯形， 在Rt△ODF和Rt△EBF中， OD=，BE=， ∴OD=BE， ∴四邊形ODBE是等腰梯形； （3）存在， 由題意得：， 設點Q坐標為（x，y）， 由題意得：， ∴， 當y=1時，即， ∴， ∴Q點坐標為（2+，1）或（2-，1）， 當y=-1時，即，∴x=2， ∴Q點坐標為（2，-1）， 綜上所述，拋物線上存在三點Q1（2+，1），Q2（2-，1），Q3（2，-1）， 使得。