Question

【題目】如圖，已知⊙O的半徑為5，弦AB=8，CD=6，則圖中陰影部分面積為（ ）

A. π–24 B. 9π C. π–12 D. 9π–6

Answer 1

【答案】A

【解析】

過點(diǎn)O作OE⊥AB于E，作OF⊥CD于F，根據(jù)垂徑定理求出AE、CF，再利用勾股定理列式求出OE=OF，從而得到AE=OF，OE=CF，然后利用“邊角邊”證明△AOE和△OCF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠AOE=∠OCF，再求出∠AOE+∠COF=90°，然后求出∠AOB+∠COD=180°，把弧CD旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，構(gòu)建直角三角形ABC；然后根據(jù)圓的面積公式和直角三角形的面積公式來求陰影部分的面積：陰影面積=半圓面積-直角三角形ABC的面積．

解：如圖1，過點(diǎn)O作OE⊥AB于E，作OF⊥CD于F，

由垂徑定理得，AE=AB=×8=4，CF=CD=×6=3，

由勾股定理得，OE===3，

OF===4，

∴AE=OF，OE=CF，

在△AOE和△OCF中，，

∴△AOE≌△OCF（SAS），∴∠AOE=∠OCF，

∵∠OCF+∠COF=90°，∴∠AOE+∠COF=90°，

∴∠AOB+∠COD=2（∠AOE+∠COF）=2×90°=180°，

如圖2把弧CD旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)D與點(diǎn)B重合．

∴△ABC為直角三角形，且AC為圓的直徑；

∵AB=8，CD=6，∴AC=10（勾股定理），

∴陰影部分的面積=S半圓–S△ABC=π×52–×6×8=π–24；

故選A．