Question

【題目】如圖，點O是△ABC的邊AB上一點，⊙O與邊AC相切于點E，與邊BC，AB分別相交于點D，F，且DE=EF．

（1）求證：∠C=90°；

（2）當BC=3，sinA=時，求AF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）連接OE，BE，因為DE=EF，所以=，從而易證∠OEB=∠DBE，所以OE∥BC，從可證明BC⊥AC；

（2）設⊙O的半徑為r，則AO=5﹣r，在Rt△AOE中，sinA=從而可求出

r的值．

（1）連接OE，BE，

∵DE=EF，

∴=

∴∠OBE=∠DBE

∵OE=OB，

∴∠OEB=∠OBE

∴∠OEB=∠DBE，

∴OE∥BC

∵⊙O與邊AC相切于點E，

∴OE⊥AC

∴BC⊥AC

∴∠C=90°

（2）在△ABC，∠C=90°，BC=3，sinA=，

∴AB=5，

設⊙O的半徑為r，則AO=5﹣r，

在Rt△AOE中，sinA=

∴

∴