Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，E為BC上一點，以CE為直徑作⊙O，AB與⊙O相交于點D，且∠A＝2∠DCB，連接CD．

(1)求證：AB是⊙O的切線；

(2)若BE＝OE＝2，求圖中陰影部分的面積（結果保留和根號）．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）陰影部分的面積=2.

【解析】

（1）連接OD，由OD＝OC，可得∠BCD=∠ODC，∠DOB=∠BCD +∠ODC=2∠BCD，又∠A=2∠BCD，可知∠DOB=∠A，由于∠A+∠B=90°，可得OD⊥AB，即可得出AB是⊙O的切線；

（2）根據勾股定理求出BD，分別求出△ODB和扇形DOE的度數，即可得出答案．

（1）證明：連接OD，

∵OD=OC，

∴∠BCD=∠ODC，

∴∠DOB=∠BCD +∠ODC=2∠BCD，

而∠A=2∠BCD，

∴∠DOB=∠A，

∵∠A+∠B=90°，

∴∠DOB+∠B=90°，

∴OD⊥AB，

∴AB是⊙O的切線；

（2）解：∵∠ACB=90°，BE＝OE=OA＝2

∴cos∠DOB=，∴∠DOB=60°，

在Rt△DOB中，OD=2，

∴BD=OD=2，

∴陰影部分的面積=S△BOD﹣S扇形DOE

=×2×2﹣

=2