Question

【題目】已知，△ABC在平面直角坐標系中的位置如圖①所示，A點坐標為（﹣4，0），B點坐標為（6，0），點D為BC的中點，點E為線段AB上一動點，連接DE經過點A、B、C三點的拋物線的解析式為．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖①，將△ADE以DE為軸翻折，點A的對稱點為點G，當點G恰好落在拋物線的對稱軸上時，求G點的坐標；

（3）如圖②，當點E在線段AB上運動時，拋物線的對稱軸上是否存在點F，使得以C、D、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點E、F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（﹣1， ）或（﹣1， ）；（3）F（﹣1，4）或（﹣1，﹣4）或（﹣1，12）．

【解析】試題分析：（1）把點A，B的坐標代入拋物線解析式，解方程組即可．

（2）作DM⊥拋物線的對稱軸于點M，設G點的坐標為（﹣1，n），由翻折的性質，得到BD=DG；然后求出點D、點M的坐標，以及BC、BD的值；在Rt△GDM中，由勾股定理，求出n的值，即可求出G點的坐標．

（3）分三種情況討論：①當CD∥EF，且點E在x軸的正半軸時；②當CD∥EF，且點E在x軸的負半軸時；③當CE∥DF時；然后根據平行四邊形的性質，求出點F的坐標各是多少即可．

試題解析：（1）∵拋物線經過點A（﹣6，0），B（4，0），∴，解得，∴拋物線的解析式是： ；

（2）如圖①，作DM⊥拋物線的對稱軸于點M，

，

設G點的坐標為（﹣1，n），由翻折的性質，可得BD=DG，∵B（4，0），C（0，8），點D為BC的中點，∴點D的坐標是（2，4），∴點M的坐標是（﹣1，4），DM=2﹣（﹣1）=3，∵B（4，0），C（0，8），∴BC==，∴BD=，在Rt△GDM中，32+（4﹣n）2=20，解得n=，∴G點的坐標為（﹣1， ）或（﹣1， ）；

（3）拋物線的對稱軸上存在點F，使得以C、D、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形．

①當CD∥EF，且點E在x軸的正半軸時，如圖②，

，

由（2），可得點D的坐標是（2，4），設點E的坐標是（c，0），點F的坐標是（﹣1，d），則，解得，∴點F的坐標是（﹣1，4），點C的坐標是（1，0）；

②當CD∥EF，且點E在x軸的負半軸時，如圖③，

，

由（2），可得點D的坐標是（2，4），設點E的坐標是（c，0），點F的坐標是（﹣1，d），則，解得，∴點F的坐標是（﹣1，﹣4），點C的坐標是（﹣3，0）；

③當CE∥DF時，如圖④，

，

由（2），可得點D的坐標是（2，4），設點E的坐標是（c，0），點F的坐標是（﹣1，d），

則，解得： ，∴點F的坐標是（﹣1，12），點C的坐標是（3，0）；

綜上，可得拋物線的對稱軸上存在點F，使得以C、D、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形，點F的坐標是（﹣1，4）、（﹣1，﹣4）或（﹣1，12）．