Question

如圖，ABCD為平行四邊形，以BC為直徑的⊙O經過點A，∠D=60°，BC=2，一動點P在AD上移動，過點P作直線AB的垂線，分別交直線AB、CD于E、F，設點O到EF的距離為t，若B、P、F三點能構成三角形，設此時△BPF的面積為S．
（1）計算平行四邊形ABCD的面積；
（2）求S關于t的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（3）△BPF的面積存在最大值嗎？若存在，請求出這個最大值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）要求平行四邊形ABCD的面積，已知底邊AB，再需證明AC為平行四邊形ABCD底邊AB上的高即可，并求得AC的大小．因此根據圓O為△ABC外接圓，BC為圓O的直徑，可得到AC⊥AB；根據∠D的大小得到∠B的大小．在Rt△ABC中，根據邊角間的關系可求得AC、AB的值．進而求得平行四邊形ABCD的面積．
（2）作OH⊥AB于點H，由（1）和垂徑定理知BH的大小．要求△BPF的面積為S，需求底邊PF的值與高EB的值．要求PF的值可根據∠D與FD來求得，進一步需求得CD與FC的大小，通過AB=CD、EA=FC，均用t來表示．而EB=EH+BH，也用t來表示，代入三角形面積公式即可．
（3）根據（2）中得出的函數式，利用配方法根據t的取值范圍，求得最大值．

解答：
解：（1）連接AC，
∵BC為直徑，
∴AC⊥AB，
在平行四邊形ABCD中，
∵∠D=60°，BC=2，
∴∠ABC=∠D=60°，AD=BC=2，
∴AB=

1

2

BC=1，
由勾股定理，得AC=

3

，
∴S△ABCD=AB•AC=

3

；

（2）作OH⊥AB于點H，
由（1）和垂徑定理知BH=

1

2

，
∵O到EF的距離為t，
∴BE=t+

1

2

，
在矩形ACFE中，CF=AE，AC=EF=

3

，
∵AE=t+

1

2

-1=t-

1

2

，
∴CF=t-

1

2

，
在平行四邊形ABCD中，CD=AB=1，
∴DF=CD-CF=1-(t-

1

2

)=

3

2

-t，
∵

PE

DF

=tan60°，
∴PF=

3

(

3

2

-t)，
∴S=

1

2

PF•BE=

1

2

(t+

1

2

)•

3

(

3

2

-t)=

3

2

(-t2-

1

2

t+

3

2

t+

3

4

)=-

3

2

t2+

3

2

t+

3

8

3

（

1

2

≤t≤

3

2

）；

（3）存在，由（2）知S=-

3

2

t2+

3

2

t+

3

8

3

（

1

2

≤t≤

3

2

），
得S=-

3

2

(t-

1

2

)2 +

3

2

（

1

2

≤t≤

3

2

），
∴當t=

1

2

時，S有最大值

3

2

．
答：（1）平行四邊形ABCD的面積為

3

；（2）S關于t的函數關系式為-

3

2

t2+

3

2

t+

3

8

3

，自變量x的取值范圍為

1

2

≤t≤

3

2

；（3）△BPF的面積存在最大值，當t=

1

2

時，S有最大值

3

2

．

點評：本題著重考查了二次函數解析式、平行四邊形的性質、垂徑定理、勾股定理、探究二次函數求極值等重要知識點，綜合性強，能力要求極高．考查數形結合的數學思想方法．