Question

【題目】已知二次函數y＝－x2＋ax＋b的圖象與y軸交于點A(0，－2)，與x軸交于點B(1，0)和點C，D(m，0)(m＞2)是x軸上一點．

(1)求二次函數的解析式；

(2)點E是第四象限內的一點，若以點D為直角頂點的Rt△CDE與以A，O，B為頂點的三角形相似，求點E坐標(用含m的代數式表示)；

(3)在(2)的條件下，拋物線上是否存在一點F，使得四邊形BCEF為平行四邊形？若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）存在，

【解析】試題分析：（1）將點A（1，0），B（2，0），C（0，-2）代入二次函數y=ax2+bx+c中，列方程組求a、b、c即可；
（2）因為D、O分別為兩個直角三角形的頂點，可分為△EDB∽△AOC，△BDE∽△AOC兩種情況，利用相似比求ED，確定E點坐標；
（3）假設拋物線上存在一點F，使得四邊形ABEF為平行四邊形，EF=AB=1，點F的橫坐標為m-1，分為①當點E1的坐標為（m， ）時，點F1的坐標為（m-1， ），②當點E2的坐標為（m，4-2m）時，點F2的坐標為（m-1，4-2m），兩種情況，分別代入拋物線解析式求m的值，確定F點的坐標．

試題解析：(1)根據題意，得，解得，a＝3，b＝－2

．

（2）當y＝0時，有－x2＋3x－2＝0，解得，x1＝1，x2＝2，∴OC＝2.

由題意得AO＝2，BO＝1，CD＝m－2.

△CDE∽△AOC當時，得AO∶CD＝BO∶DE，

∴　2∶(m－2)＝1∶DE.　∴DE＝.

∵點在第四象限，∴E1（m， ）．

當△DEC∽△AOC當時，得AO∶ED＝BO∶CD，

∴2∶DE＝1∶(m－2).　∴DE＝2m－4.

∵點在第四象限，∴E2（m，4-2m）.

（3）假設拋物線上存在一點F，使得四邊形BCEF為平行四邊形，則EF＝BC＝1，

點F的橫坐標為m－1，

當點的坐標為時，點的坐標為

∵點在拋物線的圖象上，

∴，

∴，

∴，

∴（舍去），

∴.

當點的坐標為時，點的坐標為.

∵點在拋物線的圖象上，

∴，

∴，

∴，∴（舍去），，

∴，

∴使得四邊形BCEF為平行四邊形的點F的坐標為 或.