Question

（2013•燕山區一模）如圖，已知直線l₁：y=-x+2與l₂：y=

1

2

x+

1

2

，過直線l₁與x軸的交點P₁作x軸的垂線交l₂于Q₁，過Q₁作x軸的平行線交l₁于P₂，再過P₂作x軸的垂線交l₂于Q₂，過Q₂作x軸的平行線交l₁于P₃，…，這樣一直作下去，可在直線l₁上繼續得到點P₄，P₅，…，P_n，…．設點P_n的橫坐標為x_n，則x₂=

1

2

，x_n+1與x_n的數量關系是

x_n+2x_n+1=3

．

Answer 1

分析：令y=0求出點P₁的坐標，再根據點Q₁與P₁的橫坐標相同求出點Q₁的坐標，根據Q₁、P₂的縱坐標相同求出點P₂的坐標，然后求出Q₂、P₃的坐標，然后根據變化規律解答即可．

解答：解：令y=0，則-x+2=0，
解得x=2，
所以，P₁（2，0），
∵P₁Q₁⊥x軸，
∴點Q₁與P₁的橫坐標相同，
∴點Q₁的縱坐標為

1

2

×2+

1

2

=

3

2

，
∴點Q₁的坐標為（2，

3

2

），
∵P₂Q₁∥x軸，
∴點P₂與Q₁的縱橫坐標相同，
∴-x+2=

3

2

，
解得x=

1

2

，
所以，點P₂（

1

2

，

3

2

），
∵P₂Q₂⊥x軸，
∴點Q₂與P₂的橫坐標相同，
∴點Q₂的縱坐標為

1

2

×

1

2

+

1

2

=

3

4

，
∴點Q₂的坐標為（

1

2

，

3

4

），
∵P₃Q₂∥x軸，
∴點P₃與Q₂的縱橫坐標相同，
∴-x+2=

3

4

，
解得x=

5

4

，
所以，點P₃（

5

4

，

3

4

），
…，
∵P₁（2，0），P₂（

1

2

，

3

2

），P₃（

5

4

，

3

4

），
∴x₂=

1

2

，2+2×

1

2

=3，

1

2

+2×

5

4

=3，
∴x_n+2x_n+1=3．
故答案為：

1

2

；x_n+2x_n+1=3．

點評：本題考查了兩直線相交的問題，根據題意分別求出各個點的坐標是解題的關鍵．