Question

（2013•燕山區一模）閱讀下列材料：
問題：如圖（1），已知正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD邊上的點，且∠EAF=45°． 判斷線段BE、EF、FD之間的數量關系，并說明理由．

小明同學的想法是：已知條件比較分散，可以通過旋轉變換將分散的已知條件集中在一起，于是他將△DAF繞點A順時針旋轉90°，得到△BAH，然后通過證明三角形全等可得出結論．
請你參考小明同學的思路，解決下列問題：
（1）圖（1）中線段BE、EF、FD之間的數量關系是

EF=BE+DF

；
（2）如圖（2），已知正方形ABCD邊長為5，E、F分別是BC、CD邊上的點，且∠EAF=45°，AG⊥EF于點G，則AG的長為

5

，△EFC的周長為

10

；
（3）如圖（3），已知△AEF中，∠EAF=45°，AG⊥EF于點G，且EG=2，GF=3，則△AEF的面積為

15

．

Answer 1

分析：（1）先根據旋轉的性質得出△ADF≌△ABH，則∠DAF=∠BAH，AF=AH，再證明∠EAF=∠EAH=45°，利用SAS證明△FAE≌△HAE，根據全等三角形的性質得出EF=HE=BE+HB，進而得出EF=BE+DF；
（2）由（1）知△FAE≌△HAE，根據全等三角形對應邊上的高相等得出AG=AB=5，再利用HL證明△AEG≌△ABE，得出EG=BE，同理得到GF=DF，則△EFC的周長為BC+CD=10；
（3）將△AEF置于圖（2）中，設AB=x，則CE=x-2，CF=x-3，在△CEF中，運用勾股定理得出FC²+EC²=EF²，列出關于x的方程，解方程求出x的值，即為AG的長，再根據三角形的面積公式即可求解．

解答：解：（1）EF=BE+DF．理由如下：
∵將△DAF繞點A順時針旋轉90°，得到△BAH，
∴△ADF≌△ABH，
∴∠DAF=∠BAH，AF=AH，
∴∠FAH=90°，
∴∠EAF=∠EAH=45°，
在△FAE和△HAE中，

AF=AH   ∠FAE=∠HAE AE=AE

，
∴△FAE≌△HAE（SAS），
∴EF=HE=BE+HB，
∴EF=BE+DF；

（2）∵△FAE≌△HAE，AG、AB分別是△FAE與△HAE的高，
∴AG=AB=5．
在△AEG與△ABE中，∠AGE=∠ABE=90°，

AE=AE AG=AB

，
∴Rt△AEG≌Rt△ABE（HL），
∴EG=BE，
同理GF=DF，
∴△EFC的周長=EC+EF+FC=EC+EG+GF+FC=EC+BE+DF+FC=BC+CD=10；

（3）將△AEF置于圖（2）中．
∵EG=2，GF=3，
∴BE=2，DF=3，EF=5．
設AB=x，則CE=x-2，CF=x-3，
在△CEF中，∵∠C=90°，
∴FC²+EC²=EF²，
故（x-3）²+（x-2）²=5²，
解得：x₁=-1（舍去），x₂=6，
∴AB=6，
∴AG=AB=6，
∴△AEF的面積=

1

2

EF•AG=

1

2

×5×6=15．
故答案為EF=BE+DF；5，10；15．

點評：本題主要考查旋轉的性質，正方形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，三角形的周長與面積等知識，同時考查了學生的閱讀理解能力與知識的遷移能力，綜合性較強，難度適中．