Question

【題目】如圖，在直角△ABC中，∠ABC=90°，點M是AC的中點，以AB為直徑作⊙O分別交AC，BM于點D，E．

（1）求證：MD=ME；
（2）填空：連接OE，OD，當∠A的度數為時，四邊形ODME是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在Rt△ABC中，點M是AC的中點，

∴MA=MB，

∴∠A=∠MBA；

∵四邊形ABED是圓內接四邊形，

∴∠ADE+∠ABE=180°，

而∠ADE+∠MDE=180°，

∴∠MDE=∠MBA；

同理可得∠MED=∠A，

∴∠MDE=∠MED，

∴MD=ME

（2）60°
【解析】解：（2）當∠A=60°時，
則∠ABM=60°，
∴△OAD和△OBE為等邊三角形，
∴∠BOE=60°，
∴∠BOE=∠A，
∴OE∥AC，
同理可得OD∥BM，
∴四邊形DOEM為平行四邊形，
而OD=OE，
∴四邊形ODME是菱形．
故答案為60°．

（1）利用直角三角形斜邊上的中線性質得MA=MB，則∠A=∠MBA，再利用圓內接四邊形的性質證明∠MDE=∠MED，于是得到MD=ME；（2）先證明△OAD和△OBE為等邊三角形，再證明四邊形DOEM為平行四邊形，然后加上OD=OE可判斷四邊形ODME是菱形．