Question

閱讀下列材料，并回答問題．
畫一個直角三角形，使它的兩條直角邊分別為5和12，那么我們可以量得直角三角形的斜邊長為13，并且5²+12²=13²．事實上，在任何一個直角三角形中，兩條直角邊的平方之和一定等于斜邊的平方．如果直角三角形中，兩直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，則a²+b²=c²，這個結論就是著名的勾股定理．
請利用這個結論，完成下面的活動：
（1）一個直角三角形的兩條直角邊分別為6、8，那么這個直角三角形斜邊長為

10

．
（2）滿足勾股定理方程a²+b²=c²的正整數組（a，b，c）叫勾股數組．例如（3，4，5）就是一組勾股數組．觀察下列幾組勾股數
①3，4，5； ②5，12，13； ③7，24，25；④9，40，41；
請你寫出有以上規律的第⑤組勾股數：

11，60，61

．
（3）如圖，AD⊥BC于D，AD=BD，AC=BE．AC=3，DC=1，求BD的長度．

（4）如圖，點A在數軸上表示的數是

-

5

，請用類似的方法在下圖數軸上畫出表示數

3

的B點（保留作圖痕跡）．

Answer 1

分析：（1）根據“在任何一個直角三角形中，兩條直角邊的平方之和一定等于斜邊的平方”，可得出這個直角三角形斜邊長；
（2）先找出勾股數的規律：①以上各組數均滿足a²+b²=c²；②最小的數（a）是奇數，其余的兩個數是連續的正整數；③最小奇數的平方等于另兩個連續整數的和，
如3²=9=4+5，5²=25=12+13，7²=49=24+25，9²=81=40+41…，由以上特點我們可第⑤組勾股數：11²=121=60+61；
（3）根據勾股定理先求得AD，再證明△ACD≌△BED，從而得出BD的長度．
（4）由勾股定理得出矩形的對角線的長，再由點A的位置可得出點A所表示的數，再以2，1分別為斜邊和直角邊，且另一直角邊為

3

．

解答：解：（1）

62+82

=10…（2分）；

（2）第5組勾股數為：11，60，61…（2分）

（3）∵AD⊥BC
∴∠ADC=∠BDE=90°
在Rt△ADC和Rt△BDE中

AD=BD AC=BE

∴Rt△ADC≌Rt△BDE…（2分）
∴AD=BD
∵AD²+CD²=AC²
∴AD²=AC²-CD²=9-1=8…（2分）
∴AD=

8

∴BD=

8

…（2分）
（4）-

5

…（2分），圖略（正確標出點B）…（2分）

點評：本題考查了勾股定理、直角三角形的全等，勾股數以及勾股定理的應用．