Question

 

.如圖，已知二次函數                的圖象與y軸交于點A（0，4），與x軸交于點B、C，點C坐標為(8，0)，連接AB、AC.

（1）請直接寫出二次函數                的表達式；

（2）判斷△ABC的形狀，并說明理由；

（3）若點N在x軸上運動，當以點A、N、C為頂點的三角形是等腰三角形時，請直接寫出此時點N的坐標；

（4）若點N在線段BC上運動（不與點B、C重合），過點N作NM∥AC，交AB于點M，當△AMN面積最大時，求此時點N的坐標.

 

  

Answer 1

解：（1）拋物線表達式： ………2分

（2）△ABC是直角三角形   ……………………3分

令y=0，則解得，x₁=8，x₂=-2

∴點B的坐標為（-2，0）    …………………4分

由已知可得，

在Rt△ABO中AB­­­­²=BO²+AO²=2²+4²=20

在Rt△AOC中AC­­­­²=AO²+CO²=4²+8²=80

又∵BC=OB+OC=2+8=10

∴在△ABC中AB­­­­²+ AC­­­­²=20+80=10²=BC²

∴△ABC是直角三角形       …………………6分

（3）坐標分別為（-8，0）、（8-，0）、（3，0）、（8+，0）……………10分

（4）設點N的坐標為（n，0），則BN=n+2，過M點作MD⊥x軸于點D，…11分

∴MD∥OA

∴△BMD∽△BAO

∴

∵MN∥AC

∴

∴

∵OA=4，BC=10，BN=n+2

∴MD=

∵S_△AMN= S_△ABN- S_△BMN

      =

=                   ……………………13分

         ∴當△AMN面積最大時，N點坐標為（3，0）