Question

將圖（1）中的矩形ABCD沿對角線AC剪開，再把△ABC沿著AD方向平移，得到圖（2）中的△A′BC′，AB=6，BC=8．
（1）除△ADC與△C′BA′全等外，你還可以指出哪幾對全等的三角形（不能添加輔助線和字母）？
（2）試證明四邊形A′ECF是平行四邊形；
（3）當圖（2）中的BC多長時，平行四邊形A′ECF的面積最大？

Answer 1

分析：（1）利用平移的性質(zhì)得出對應線段相等，再利用全等三角形的判定求出即可；
（2）利用平行四邊形的性質(zhì)，首先得出△A′DF≌△CBE，再利用A′E=CF，得出四邊形是平行四邊形；
（3）利用相似三角形的性質(zhì)得出DF=

3

4

x，進而得出平行四邊形的面積，利用二次函數(shù)的增減性求出即可．

解答：（1）解：由平移的性質(zhì)可知：
∵AA′=CC′，
又∵∠A=∠C′，
∠AA′E=∠C′CF=90°，
∴△AA′E≌△C′CF．
∵A′C′∥AC，
∴∠DCE=∠DFA′，
∵∠BCE+∠ECF=90°，∠A′FD+∠DA′F=90°
∴∠ECB=∠DA′F，
∵BC=A′D，∠B=∠D，
∴△A′DF≌△CBE，
有兩對全等三角形，分別為：△AA′E≌△C′CF，△A′DF≌△CBE；

（2）證明：由平移的性質(zhì)可知：A′E∥CF，A′F∥CE，
∴四邊形A′ECF是平行四邊形．
∴A′F=CE，A′E=CF．
∵A′B=CD，
∴DF=BE，
又∵∠B=∠D=90°，
∴△A′DF≌△CBE．
∴A′F=CE，DF=BE，
∵A′B=DC，
∴A′B-EB=DC-DF，即A′E=CF，
∴四邊形A′ECF是平行四邊形；

（3）解：假設BC=x，
∴CC′=8-x，
∵AD∥BC′，
∴△DFA′∽△CFC′，
∴

A′D

CC′

=

DF

CF

，
∴

x

8-x

=

DF

6-DF

，
解得：DF=

3

4

x，
∴平行四邊形A′ECF的面積為：CF×BC=

3

4

x²，
∴當x=8時，平行四邊形A′ECF的面積最大．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的判定與性質(zhì)和二次函數(shù)的增減性，求最值問題一般是二次函數(shù)的最值問題，應有意識的應用．