Question

【題目】如圖1，△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，D、F分別在AB、AC邊上，此時BD=CF，BD⊥CF成立．
（1）當正方形ADEF繞點A逆時針旋轉θ（0°＜θ＜90°）時，如圖2，BD=CF成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．
（2）當正方形ADEF繞點A逆時針旋轉45°時，如圖3，延長BD交CF于點G．
①求證：BD⊥CF；
②當AB=4，AD= 時，求線段BG的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：BD=CF成立．

理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，

∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，

∵∠BAD=∠BAC﹣∠DAC，∠CAF=∠DAF﹣∠DAC，

∴∠BAD=∠CAF，

在△BAD和△CAF中，

∴△BAD≌△CAF（SAS）．

∴BD=CF．

（2）①證明：設BG交AC于點M．

∵△BAD≌△CAF（已證），

∴∠ABM=∠GCM．

∵∠BMA=∠CMG，

∴△BMA∽△CMG．

∴∠BGC=∠BAC=90°．

∴BD⊥CF．

②過點F作FN⊥AC于點N．

∵在正方形ADEF中，AD=DE= ，

∴AE= =2，

∴AN=FN= AE=1．

∵在等腰直角△ABC 中，AB=4，

∴CN=AC﹣AN=3，BC= =4 ．

∴在Rt△FCN中，tan∠FCN= = ．

∴在Rt△ABM中，tan∠ABM= =tan∠FCN= ．

∴AM= AB= ．

∴CM=AC﹣AM=4﹣ = ，BM= = = ．

∵△BMA∽△CMG，

∴ ．

∴ ．

∴CG= ．

∴在Rt△BGC中，BG= = ．

【解析】（1）△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，易證得△BAD≌△CAF，根據全等三角形的對應邊相等，即可證得BD=CF；（2）①由△BAD≌△CAF，可得∠ABM=∠GCM，又由對頂角相等，易證得△BMA∽△CMG，根據相似三角形的對應角相等，可得BGC=∠BAC=90°，即可證得BD⊥CF；②首先過點F作FN⊥AC于點N，利用勾股定理即可求得AE，BC的長，繼而求得AN，CN長，又由等角的三角函數值相等，可求得AM= AB= ，然后利用△BMA∽△CMG，求得CG的長，再由勾股定理即可求得線段BG的長．
【考點精析】認真審題，首先需要了解等腰直角三角形(等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°)，還要掌握勾股定理的概念(直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2)的相關知識才是答題的關鍵．