Question

【題目】（1）問題發現：如圖①，直線AB∥CD，E是AB與CD之間的一點，連接BE，CE，可以發現∠B+∠C=∠BEC．

請把下面的證明過程補充完整：

證明：過點E作EF∥AB，

∵AB∥DC（已知），EF∥AB（輔助線的作法），

∴EF∥DC（　 　 ）

∴∠C=∠CEF．（　 　 ）

∵EF∥AB，∴∠B=∠BEF（同理），

∴∠B+∠C=　 　 （等式性質）

即∠B+∠C=∠BEC．

（2）拓展探究：如果點E運動到圖②所示的位置，其他條件不變，求證：∠B+∠C=360°﹣∠BEC．

（3）解決問題：如圖③，AB∥DC，試寫出∠A、∠C、∠AEC的數量關系　 　 ．（直接寫出結論，不用寫計算過程）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）∠C+∠AEC-∠A=180.

【解析】

（1）過點E作EF∥AB，根據平行線的判定得出AB∥CD∥EF，根據平行線的性質得出即可；
（2）過點E作EF∥AB，根據平行線的判定得出AB∥CD∥EF，根據平行線的性質得出即可；
（3）過點E作EF∥AB，根據平行線的判定得出AB∥CD∥EF，根據平行線的性質得出即可．

（1）證明：如圖①，過點E作EF∥AB，

∵AB∥DC（已知），EF∥AB（輔助線的作法），
∴EF∥DC（平行于同一直線的兩直線平行），
∴∠C=∠CEF．（兩直線平行，內錯角相等），
∵EF∥AB，
∴∠B=∠BEF（同理），
∴∠B+∠C=∠BEF+∠CEF（等量代換）
即∠B+∠C=∠BEC，
故答案為：平行于同一直線的兩直線平行，兩直線平行，內錯角相等，∠BEF+∠CEF；

（2）證明：如圖②，過點E作EF∥AB，

∵AB∥DC（已知），EF∥AB（輔助線的作法），
∴EF∥DC（平行于同一直線的兩直線平行），
∴∠C+∠CEF=180°，∠B+∠BEF=180°，
∴∠B+∠C+∠AEC=360°，
∴∠B+∠C=360°-∠BEC；

（3）解：如圖③，過點E作EF∥AB，

∵AB∥DC（已知），EF∥AB（輔助線的作法），
∴EF∥DC（平行于同一直線的兩直線平行），
∴∠C+∠CEF=180°，∠A=∠AEF，
∴∠CEF=∠ACE－∠AEF，
∴∠C+∠AEC-∠A=180°.