Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，點E，F分別在AB，BC上，且AE＝BF.

（1）試探索線段AF，DE的數量關系，寫出你的結論并說明理由；

（2）連接EF，DF，分別取AE，EF，FD，DA的中點H，I，J，K，則四邊形HIJK是什么特殊四邊形？請在圖2中補全圖形，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）AF＝DE.理由見解析；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）根據已知利用SAS判定△DAE≌△ABF，由全等三角形的判定方法可得到AF=DE．
（2）根據已知可得HK，KJ，IJ，HI都是中位線，由全等三角形的判定可得到四邊形四邊都相等且有一個角是直角，從而來可得到該四邊形是正方形．

試題解析：

（1）AF＝DE.

理由：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠DAB＝∠ABC＝90°.

又∵AE＝BF，

∴△DAE≌△ABF（SAS）．

∴AF＝DE.

（2）如圖所示：

四邊形HIJK是正方形．理由：

∵H，I，J，K分別是AE，EF，FD，DA的中點，

∴HI＝KJ＝AF，HK＝IJ＝ED.

∵AF＝DE，

∴HI＝KJ＝HK＝IJ.

∴四邊形HIJK是菱形．

∵△DAE≌△ABF，

∴∠ADE＝∠BAF.

∵∠ADE＋∠AED＝90°，

∴∠BAF＋∠AED＝90°.

∴AF⊥DE.

∵HK∥DE，HI∥AF，

∴HK⊥HI.

∴∠KHI＝90°.

∴四邊形HIJK是正方形．