Question

【題目】已知直線l經過A（6，0）和B（0，12）兩點，且與直線y=x交于點C．

（1）求直線l的解析式；
（2）若點P（x，0）在線段OA上運動，過點P作l的平行線交直線y=x于D，求△PCD的面積S與x的函數關系式；S有最大值嗎？若有，求出當S最大時x的值；

（3）若點P（x，0）在x軸上運動，是否存在點P，使得△PCA成為等腰三角形？若存在，請寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設直線L解析式為y=kx+b，

將A（6，0）和B（0，12）代入，得：

，

解得： ，

∴直線L解析式為y=﹣2x+12；

（2）

解：解方程組： ，

得： ，

∴點C的坐標為（4，4），

∴S△COP= x×4=2x；

∵PD∥l，

∴ ，

而 = ，

∴ ，

即 ，

∴△PCD的面積S與x的函數關系式為：

S=﹣ x2+2x，

∵S=﹣ （x﹣3）2+3，

∴當x=3時，S有最大值，最大值是3．

（3）

解：

存在點P，使得△PCA成為等腰三角形，

∵點C的坐標為（4，4），A（6，0），

根據P1C=CA，P3A=AC，P2A=AC，P4C=P4A時分別求出即可，

當P1C=CA時，P1（2，0），

當P2A=AC時，P2（6﹣2 ，0），

當P3A=AC時，P3（6+2 ，0），

當P4C=P4A時，P4（1，0），

∴點P的坐標分別為：

P1（2，0），P2（6﹣2 ，0），P3（6+2 ，0），P4（1，0）．

【解析】（1）利用待定系數法將A（6，0）和B（0，12）代入解析式，求出即可；（2）將兩函數解析式聯立，得出點C的坐標，再利用平行線的性質，進而求出 ，再利用二次函數最值求出即可；（3）分別根據P1C=CA，P3A=AC，P2A=AC，P4C=P4A時結合圖形求出即可．
【考點精析】本題主要考查了一次函數的圖象和性質和二次函數的最值的相關知識點，需要掌握一次函數是直線，圖像經過仨象限；正比例函數更簡單,經過原點一直線；兩個系數k與b,作用之大莫小看，k是斜率定夾角,b與Y軸來相見,k為正來右上斜,x增減y增減；k為負來左下展,變化規律正相反；k的絕對值越大,線離橫軸就越遠；如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a才能正確解答此題．