Question

【題目】如圖，已知拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．

（1）求點A，B，C的坐標；

（2）點E是此拋物線上的點，點F是其對稱軸上的點，求以A，B，E，F為頂點的平行四邊形的面積；

（3）此拋物線的對稱軸上是否存在點M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（2，0），B（﹣4，0），C（0，2）；（2）；（3）M（﹣1，﹣1）或（﹣1，）或（﹣1，）．

【解析】

試題分析：（1）分別令y=0，x=0，即可解決問題．

（2）由圖象可知AB只能為平行四邊形的邊，易知點E坐標，由此不難解決問題．

（3）分A、C、M為頂點三種情形討論，分別求解即可解決問題．

試題解析：（1）令y=0得，∴，x=﹣4或2，∴點A坐標（2，0），點B坐標（﹣4，0），令x=0，得y=2，∴點C坐標（0，2）．

（2）由圖象可知AB只能為平行四邊形的邊，∵AB=EF=6，對稱軸x=﹣1，∴點E的橫坐標為﹣7或5，∴點E坐標（﹣7，）或（5，），此時點F（﹣1，），∴以A，B，E，F為頂點的平行四邊形的面積=6×=．

（3）如圖所示，①當C為頂點時，CM1=CA，CM2=CA，作M1N⊥OC于N，在RT△CM1N中，CN==，∴點M1坐標（﹣1，），點M2坐標（﹣1，）．

②當M3為頂點時，∵直線AC解析式為y=﹣x+1，線段AC的垂直平分線為y=x，∴點M3坐標為（﹣1，﹣1）．

③當點A為頂點的等腰三角形不存在．

綜上所述點M坐標為（﹣1，﹣1）或（﹣1，）或（﹣1，）．