Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，且AB為6，過B點作⊙O的切線CB與⊙O相切于點B，在半圓AB上有一點D使∠ABD=30°，BD的中點為E，連接OE并延長OE與BC交于點C，連接CD．
（1）求證：CD是⊙O的切線．
（2）四邊形ABCD的周長是多少？

Answer 1

（1）證明：連接OD，
∵OE是BD的中點且BO=DO，
∴OE⊥BD，
∴CE⊥BD，
∵BE=DE，
∴BC=DC，
∵OB=OD，OC=OC，
∴△OBC≌△ODC，
∵BC是⊙O的切線，
∴∠OBC=90°，
∴∠ODC=90°，
∴CD是⊙O的切線；

（2）∵BC是⊙O的切線，
∴∠OBC=90°，
∵∠ABD=30°，
∴∠DBC=60°，
∵BC=CD，
∴∠DBC=∠BDC=60°，
∴△BCD是等邊三角形，
∴BC=BD=CD，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=30°，AB=6，
∴AD=

1

2

AB=

1

2

×=3，BD=

AB2-AD2

=

62-32

=3

3

，
∴四邊形ABCD的周長為：3

3

+3

3

+3+6=9+6

3

．