Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，AC是上半圓的弦，過點C作⊙O的切線DE交AB的延長線于點E，過點A作切線DE的垂線，垂足為D，且與⊙O交于點F，設∠DAC，∠CEA的度數分別是α，β．

（1）用含α的代數式表示β，并直接寫出α的取值范圍；

（2）連接OF與AC交于點O′，當點O′是AC的中點時，求α，β的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）首先證明∠DAE=2α，在Rt△ADE中，根據兩銳角互余，可知2α+β=90°，（0°＜α＜45°）；

（2）連接OF交AC于O′，連接CF．只要證明四邊形AFCO是菱形，推出△AFO是等邊三角形即可解決問題；

試題解析：(1)連接OC.

∵DE是⊙O的切線，

∴OC⊥DE，

∵AD⊥DE，

∴AD∥OC，

∴∠DAC=∠ACO，

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC，

∴∠DAE=2α，

∵∠D=90°，

∴∠DAE+∠E=90°，

∴2α+β=90°(0°<α<45°).

(2)連接OF交AC于O′，連接CF.

∵AO′=CO′，

∴AC⊥OF，

∴FA=FC，

∴∠FAC=∠FCA=∠CAO,

∴CF∥OA,∵AF∥OC，

∴四邊形AFCO是平行四邊形，

∵OA=OC，

∴四邊形AFCO是菱形，

∴AF=AO=OF，

∴△AOF是等邊三角形，

∴∠FAO=2α=60°，

∴α=30°，

∵2α+β=90°，

∴β=30°，

∴α=β=30°.