Question

（2013•西城區一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=α，點P在△ABC的內部．
（1）如圖1，AB=2AC，PB=3，點M、N分別在AB、BC邊上，則cosα=

3

2

，△PMN周長的最小值為

3

；
（2）如圖2，若條件AB=2AC不變，而PA=

2

，PB=

10

，PC=1，求△ABC的面積；
（3）若PA=m，PB=n，PC=k，且k=mcosα=nsinα，直接寫出∠APB的度數．

Answer 1

分析：（1）利用銳角三角函數關系以及利用軸對稱求最短路線進而得出，△PMN的周長最小值等于P′P″的長，分別求出即可；
（2）首先分別將△PAB、△PBC、△PAC沿直線AB、BC、AC翻折，點P的對稱點分別是點D、E、F，連接DE、DF，
則△PAB≌△DAB，△PCB≌△ECB，△PAC≌△FAC，進而得出∠DFE=90°，由S_{多邊形BDAFE}=2S_△ABC=S_△DBE+S_△DFE+S_△DAF，求出即可；
（3）作BM⊥DE于M，AN⊥DF于N，分別表示出∠1，∠2，∠3進而得出答案．

解答：解：（1）∵AB=2AC，PB=3，∠ACB=90°，∠ABC=α，
∴sinα=

1

2

，
∴α=30°，
∴cosα=

3

2

，
如圖1，作P點關于AB以及BC的對稱點P′，P″，
∴BP=BP″=BP′，△PMN的周長最小值等于P′P″的長，
∵∠ABC=30°，
∴∠P′BP″=60°，
∴△BP′P″是等邊三角形，
∴BP′=BP″=3，
∴△PMN周長的最小值為：3；       
故答案為：

3

2

，3；

（2）如圖2，分別將△PAB、△PBC、△PAC沿直線AB、BC、AC翻折，點P的對稱點分別是點D、E、F，連接DE、DF，
則△PAB≌△DAB，△PCB≌△ECB，△PAC≌△FAC．
∴AD=AP=AF，BD=BP=BE，CE=CP=CF．
∵由（1）知∠ABC=30°，∠BAC=60°，∠ACB=90°，
∴∠DBE=2∠ABC=60°，∠DAF=2∠BAC=120°，
∠FCE=2∠ACB=180°．
∴△DBE是等邊三角形，點F、C、E共線．
∴DE=BD=BP=

10

，EF=CE+CF=2CP=2．
∵△ADF中，AD=AF=

2

，∠DAF=120°，
∴∠ADF=∠AFD=30°．
∴DF=

3

AD=

6

．
∴EF²+DF²=10=DE²．
∴∠DFE=90°．
∵S_{多邊形BDAFE}=2S_△ABC=S_△DBE+S_△DFE+S_△DAF，
∴2S△ABC=

3

4

×(

10

)2+

1

2

×

6

×2+

1

2

×

6

×

2

2

=3

3

+

6

．
∴S△ABC=

3 3 + 6

2

．

（3）∠APB=150°．
理由：如圖2，作BM⊥DE于M，AN⊥DF于N，
由（2）知∠DBE=2α，∠DAF=180°-2α．
∵BD=BE=n，AD=AF=m，
∴∠DBM=α，∠DAN=90°-α．
∴∠1=90°-α，∠3=α．
∴DM=nsinα，DN=mcosα．
∴DE=DF=EF．
∴∠2=60°．
∴∠APB=∠BDA=∠1+∠2+∠3=150°．

點評：此題主要考查了幾何變換綜合以及銳角三角函數關系以及等邊三角形的判定等知識，利用軸對稱得出等邊三角形是解題關鍵．