Question

【題目】如圖,已知一次函數y= x3與反比例函數y= 的圖象相交于點A(4,n)，與x軸相交于點B.

(1)填空：n的值為___，k的值為___；

(2)以AB為邊作菱形ABCD，使點C在x軸正半軸上，點D在第一象限，求點D的坐標；

(3)觀察反比例函數y=的圖象，當y2時，請直接寫出自變量x的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）n=3,k=12；（2）(4+,3)；（3）x6或x>0.

【解析】

（1）把點A（4，n）代入一次函數y=x-3，得到n的值為3；再把點A（4，3）代入反比例函數y=，得到k的值為12；

（2）根據坐標軸上點的坐標特征可得點B的坐標為（2，0），過點A作AE⊥x軸，垂足為E，過點D作DF⊥x軸，垂足為F，根據勾股定理得到AB=，根據AAS可得△ABE≌△DCF，根據菱形的性質和全等三角形的性質可得點D的坐標；

（3）根據反比例函數的性質即可得到當y≥-2時，自變量x的取值范圍．

(1)把點A(4,n)代入一次函數y=x3,可得n=×43=3；

把點A(4,3)代入反比例函數y=,可得3=，

解得k=12.

(2)∵一次函數y=x3與x軸相交于點B，

∴ x3=0，

解得x=2，

∴點B的坐標為(2,0)，

如圖，過點A作AE⊥x軸，垂足為E，

過點D作DF⊥x軸，垂足為F，

∵A(4,3),B(2,0)，

∴OE=4，AE=3，OB=2，

∴BE=OEOB=42=2，

在Rt△ABE中，

AB=，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=CD=BC=,AB∥CD，

∴∠ABE=∠DCF，

∵AE⊥x軸，DF⊥x軸，

∴∠AEB=∠DFC=90°，

在△ABE與△DCF中，

，

∴△ABE≌△DCF(ASA)，

∴CF=BE=2，DF=AE=3，

∴OF=OB+BC+CF=2+ +2=4+，

∴點D的坐標為(4+,3).

(3)當y=2時,2= ，解得x=6.

故當y2時，自變量x的取值范圍是x6或x>0.