Question

【題目】如圖，點C為線段BD上的一點，△ABC和△CDE是等邊三角形.

（1）求證：AD=BE.

（2）以點C為中心，將△CDE逆時針方向旋轉，旋轉角為ɑ(0°＜ɑ＜360°).

①當ɑ為多少時DE∥AB?直接寫出結果，不要求證明.

②當BC=6, CD=4時 ,設點E到直線AB的距離為y, 當ɑ為多少時，點E到直線AB的距離最小？求出最小值，并簡潔說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）120°或300°；（3）,,證明見解析.

【解析】

（1）利用SAS證明△BCE≌△ACD，從而得到結論；

（2）①分兩種情況：當CE旋轉到與CB重合時，DE∥AB；當CE旋轉到BC延長線上時，DE∥AB，從而進行分析即可；

②當點E旋轉到AB邊上的高線上時，到直線AB的距離最小，利用勾股定理可求出，再利用三角形三邊關系及垂線段性質即可證明.

（1）證明：∵△ABC和△CDE是等邊三角形，

∴BC=AC,CE=CD,∠BCA=∠ECD=60°，

∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，

∴△BCE≌△ACD（SAS）

∴AD=BE；

（2）解：①情況一：當 時，DE∥AB，證明如下：

當 時，此時CE旋轉到與CB重合，

∵△ABC和△CDE是等邊三角形，

∴∠DEC=∠ABC=60°，

∴DE∥AB（同位角相等，兩直線平行）；

情況二：當 時，DE∥AB，證明如下：

當 時，此時CE旋轉到BC延長線上，

∵△ABC和△CDE是等邊三角形，

∴∠DEC=∠ABC=60°，

∴DE∥AB（內錯角相等，兩直線平行）；

②如圖，當時，點E旋轉至點E'，此時點E'到AB的距離最短，NC⊥AB，

在Rt△ANC中，AC=6，AN=，

∴NC=，

∴，

如圖，Q為E旋轉任意角度后所對應的點，根據三角形三邊關系可知，CQ+QMMC，

根據垂線段最短可知，CE'+NE'MCCQ+QM，當點Q與點E'重合時取等號，即：NE'≤QM，

所以當時，點E到直線AB的距離最小，最小值為.