Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，折疊矩形的一邊，使點落在邊的點處，折痕為，連接．已知點的坐標為，二次函數圖象經過、、三點．

（1）求函數解析式；

（2）在軸下方拋物線上有一動點，過點作軸，交軸于點，連接，當與相似時，求點的坐標．

（3）在拋物線對稱軸上是否存在一點，使有最大值？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）存在，

【解析】

（1）由矩形的性質、折疊的性質和勾股定理求得B點和F點的坐標，用待定系數法即可求得函數解析式.

（2）設，則，，由勾股定理求得，即，設，當時，，當時，，分別代入數據計算即可.

（3）點C（0，-8），兩點關于對稱軸x=3對稱，連接BF交直線x=3于點M，此時有最大值，設直線BF：y=kx+b，求得解析式，當x=3時，y=-14，此時

解：（1）∵四邊形為矩形，點坐標為

∴，，，

∴

∴，即

將、、分別代入中，得：

解得

∴二次函數解析式為

（2）設，則，

由勾股定理得：，解得

∴

設

當時，，即

解得：（不合題意，舍去），

此時

當時，，即

解得：（不合題意，舍去），

此時

∴或

（3）存在

點C（0，-8），兩點關于對稱軸x=3對稱，

如圖，連接BF交直線x=3于點M，此時有最大值

設直線BF：y=kx+b

代入B、F兩點坐標得

，解得

所以直線BF：y=2x-20，

當x=3時，y=-14，

故