Question

【題目】已知，四邊形中，是對角線上一點，,以為直徑的與邊相切于點.點在上，連接.

（1）求證：；

（2）若，求證：四邊形是菱形.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析

【解析】

試題分析：（1）先判斷出∠2+∠3=90°，再判斷出∠1=∠2即可得出結論；

（2）先判斷出△ABO≌△CDE得出AB=CD，即可判斷出四邊形ABCD是平行四邊形，最后判斷出CD=AD即可．

試題解析：（1）如圖，連接OD，

∵CD是⊙O的切線，

∴OD⊥CD，

∴∠2+∠3=∠1+∠COD=90°，

∵DE=EC，

∴∠1=∠2，

∴∠3=∠COD，

∴DE=OE；

（2）∵OD=OE，

∴OD=DE=OE，

∴∠3=∠COD=∠DEO=60°，

∴∠2=∠1=30°，

∵OA=OB=OE，OE=DE=EC，

∴OA=OB=DE=EC，

∵AB∥CD，

∴∠4=∠1，

∴∠1=∠2=∠4=∠OBA=30°，

∴△ABO≌△CDE，

∴AB=CD，

∴四邊形A∴D是平行四邊形，

∴∠DAE=∠DOE=30°，

∴∠1=∠DAE，

∴CD=AD，

∴ABCD是菱形．