Question

【題目】如圖，是的直徑，是延長線上一點，與相切于點，，．

（1）求的度數；

（2）求證：；

（3）若，求出圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）

【解析】

（1）連接OE，證明△OBE為等邊三角形，得到∠EOC＝60°，根據切線的性質得到OE⊥CD，根據直角三角形的性質計算，得到答案；
（2）根據圓周角定理求出∠EAB＝30°，得到EA＝EC，根據含30°的直角三角形的性質計算，證明結論；
（3）求出∠AOE＝120°，根據扇形面積公式、三角形的面積公式計算．

（1）解：連接OE．

∵OB＝OE，∠ABE＝60°，

∴△OBE為等邊三角形，

∴∠EOC＝60°．

∵CD與⊙O相切，

∴OE⊥CD，

∴∠C＝90°﹣60°＝30°；

（2）證明：由圓周角定理得，∠EAB＝∠EOB＝30°，

∴∠EAB＝∠C，

∴EA＝EC．

∵AD⊥CD，

∴∠DAC＝90°﹣∠C＝60°，

∴∠DAE＝30°，

∴AE＝2DE，

∴EC＝2DE；

（3）解：∵∠EOC＝60°，

∴∠AOE＝120°，

則陰影部分的面積＝扇形AOE的面積﹣△AOE的面積

＝××3×3×tan60°＝．