Question

【題目】如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，在△ABC的外側作直線AP，點C關于直線AP的對稱點為點D，連接AD，BD，其中BD交直線AP于點E．

（1）依題意補全圖形；

（2）若∠PAC＝24°，求∠AEB的度數；

（3）連結CE，若AE＝，CE＝1，求BE長．

Answer 1

【答案】（1）圖形如圖所示：見解析；（2）∠AEB＝45°；（3）BE＝3．

【解析】

（1）根據要求作出對稱點，連線畫出圖形即可；

（2）根據圖形的對稱性，得出△ACD和△ADB是等腰三角形，利用∠AEB=∠EAD+∠ADE，求出∠EAD，∠ADE．

（3）在BE上截取BF=ED，連接AF，證明△ABF≌△ADE（SAS），得出BE=DF，利用勾股定理，求出EF即得．

（1）作直線AP,作點C的對稱點D，連接AD，BD,圖形如圖所示：

（2）∵C，D關于PA對稱，

∴∠PAC=∠PAD=24°，

∴∠CAD=48°，

∵∠BAC=90°，

∴∠BAD=90°+48°=138°，

∴∠ADB=∠ABD=（180°-138°）=21°，

∴∠AEB=∠EAD+∠ADE=21°+24°=45°．

（3）如圖，在BE上截取BF=ED，連接AF，由（1）中作圖可知，

AC=AD，CE=DE，

又∵AB=AC，

∴AB=AD，則

在△ABF和△ADE中

∴△ABF≌△ADE（SAS），

∴AF=AE，∠BAF=∠DAE=∠CAE，

∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=∠FAC+∠BAC=∠BAC=90°，

∴EF=AE=2，

又BF=ED=CE=1，

∴BE=BF+EF=1+2=3.

故答案為：3.