Question

【題目】如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，tan∠CAB＝，AD＝AB，AH⊥BD于點H，連接CD交AH于點E，連接BE，BE＝，則BD的長為_____．

Answer 1

【答案】4．

【解析】

過點C作CF⊥AB于F，由三角函數得出tan∠CAB＝，設CF＝4a，AF＝3a，由勾股定理得出AC＝5a，得出BF＝AB﹣AF＝2a，由勾股定理得出BC＝＝2a，得出sin∠CBF＝，證出點BD關于AH對稱，AC＝AD，DH＝BH，得出∠ABD＝∠ADB，∠ABE＝∠ADE，∠DEH＝∠BEH，∠ADC＝∠ACD，得出∠ACD＝∠ABE，證出A、E、B、C四點共圓，由圓周角定理得出∠ABC＝∠AEC，證出∠CBF＝∠BEH，得出sin∠BEH＝，即可得出答案．

解：過點C作CF⊥AB于F，如圖所示：

∴tan∠CAB＝，

設CF＝4a，AF＝3a，

AC＝＝5a，

∵AB＝AC，

∴BF＝AB﹣AF＝5a﹣3a＝2a，

在Rt△BDF中，

BC＝＝2a，

∴sin∠CBF＝，

∵AB＝AD，AH⊥BD，

∴點BD關于AH對稱，AC＝AD，DH＝BH，

∴∠ABD＝∠ADB，∠ABE＝∠ADE，∠DEH＝∠BEH，∠ADC＝∠ACD，

∴∠ACD＝∠ABE，

∴A、E、B、C四點共圓，

∴∠ABC＝∠AEC，

∵∠AEC＝∠DEH，∠DEH＝∠BEH，

∴∠ABC＝∠BEH，即∠CBF＝∠BEH，

∴sin∠BEH＝，

∵BE＝，

∴，

∴BH＝2，

∴BD＝2BH＝4，

故答案為：4．