Question

【題目】如圖，已知一次函數的圖象交軸于點，交軸于點，點在軸正半軸上，點在射線上，且．垂直軸于點．

點坐標為________，點坐標為________．

操作：將一足夠大的三角板的直角頂點放在射線或射線上，一直角邊始終過點，另一直角邊與軸相交于點．問是否存在這樣的點，使以點，，為頂點的三角形與全等？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）存在這樣的點，使以點，，為頂點的三角形與全等

【解析】

（1）根據點E在x軸正半軸上，OE=OF=10，即可得出E（10，0），再根據點F在射線BA上，可設F（x，x+2），則OH=x，FH=x+2，最后根據勾股定理求得x即可；

（2）當點Q在射線HF上時，分兩種情況：①QE=OE=10，②QP=OE=10；當點Q在射線AF上時，分兩種情況：①QE=OE=10，②QP=OE=10，分別作輔助線構造直角三角形或相似三角形，求得QH的長，即可得出點Q的坐標．

（1）∵點E在x軸正半軸上，OE=OF=10，∴E（10，0）．

∵點F在射線BA上，∴可設F（x，x+2），則OH=x，FH=x+2，如圖，連接OF，則

Rt△OHF中，x2+（x+2）2=102，解得：x=6，∴x+2=8，∴F（6，8）．

故答案為：（10，0），（6，8）；

（2）存在這樣的點Q，使以點P，Q，E為頂點的三角形與△POE全等．

當點Q在射線HF上時，分兩種情況：

①如圖所示，若QE=OE=10，而HE=10﹣6=4，∴在Rt△QHE中，QH===2，∴Q（6，2）；

②如圖所示，若QP=OE=10，作PK⊥FH于K，則∠PKQ=∠QHE=90°，QK==8．

∵∠PQK+∠EQH=∠QEH+∠EQH=90°，∴∠PQK=∠QEH，∴△PQK∽△QEH，∴=，即=，解得：QH=3，∴Q（6，3）；

當點Q在射線AF上時，分兩種情況：

①如圖所示，若QE=OE=10，設Q（x，x+2），作QR⊥x軸于R，則RE=10﹣x，QR=x+2，∴Rt△QRE中，（10﹣x）2+（x+2）2=102，解得：x=4±，∴Q（4+，6+）或（4﹣，6﹣）；

②如圖所示，若QP=OE=10，則QE=OP，設Q（x，x+2）．

∵∠POE=90°，∴四邊形OPQE是矩形，∴x=OE=10．

∵Q在射線AF上，∴x+2=QE=12，∴Q（10，12）．